미분(微分)은 수학에서 어떠한 양이 변화하는 속도를 말한다. 이것은 적분과 함께 미적분학의 기본적인 개념을 이룬다.

미분의 가장 단순한 형태는 단순한 실변수의 실수값 함수의 미분이다. 이것의 설명은 다음과 같다.

  • 미분은 한 점에서, 함수의 그래프의 접선의 기울기로 주어진다. 이렇게 하여 미분은 볼록성 또는 오목성처럼, 그래프의 기하학적 속성을 결정하는 데 사용될 수 있다.
  • 미분은 변화율의 수학적 형식화를 제공한다. : 그것은 함수의 편각 변화에 대응하는 함수값 변화에 대한 비율을 측정함으로써 얻어진다.

    • 미분의 개념은 변수가 하나인 함수뿐만 아니라 변수가 여럿인 함수에도 확장할 수 있다. 또한 벡터, 미분기하학과 같은 범위에도 일반화할 수 있다.

    미분법과 미분가능성 [편집]

    물리학 용어에서, 미분법은 함수관계를 갖는 x의 변화에 대한 y의 변화율로 표현된다.

    양에서의 변화를 나타내는 기호 Δ를 사용하면, 이 변화율은 Δx가 0에 무한히 가까이 갈 때 미분계수의 극한으로 정의된다.

    \frac{\Delta y}{\Delta x}

    미분에 대한 라이프니츠의 표기법에 의하면 x에 관한 y의 미분은 다음과 같이 두 개의 무한소 양의 비로 표시된다.

    \frac{dy}{dx}

    근대에서 미분은 함수에 대한 수치 연산으로 정의되며, 엄밀한 정의는 다음과 같다.

    \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

    이 정의는 아래에서 더 자세히 다루어진다. 만일 f가 함수라면, 값 x에 대한 함수 f의 미분은 다음과 같은 여러 방법으로 쓸 수 있다:

    • f'(x)
    • \frac{d}{dx} f(x)
    • \frac{df}{dx}
    • Dxf
    • \dot{x}


    만일 어느 점 x에서 도함수가 존재한다면 그 함수는 미분 가능하다. 특정한 구간 내의 모든 점에서 미분가능한 함수는 그 구간상에서 미분 가능하다고 한다. 점 x에서 연속이 아닌 함수는, 접선이 존재하지 않으므로 x에서 미분 불가능하다. 그러나, 함수는 특정 점에서 연속이면서도 미분 불가능할 수도 있다. 예로 y=|x|(x=0일 때 미분 불가능)가 있다.

    즉, 미분 가능한 함수는 연속함수이나, 모든 연속함수가 미분 가능한 것은 아니다. 여기에 대해 유명한 예의 하나인 바이어슈트라스 함수는 어느 곳에서나 연속이지만 어디에서도 미분가능하지 않다.

    함수의 미분이 미분가능한 경우도 있다. 미분의 미분은 (원래 함수의) 2계 미분이라고 부르고, 2계 미분의 미분은 3계 미분이라고 하며, 같은 방법으로 보다 높은 계수의 미분을 정의한다. 마찬가지로, 도함수의 도함수를 2계 도함수, 또 그 함수의 도함수를 3계 도함수라고 부른다.